Kalkulus Dasar Menggunakan Maxima
Kalkulus Dasar Menggunakan Maxima, pasti sudah tidak asing lagi dengan kata kalkulus. Kalkulus sendiri sudah pernah kita pelajari saat kita SMA. Entah itu jurusan IPA ataupun IPS pasti pernah mempelajarinya. Dan pada kesempatan kali ini, saya akan memberi tahu cara cepat untuk menjawab kalkulus dasar, seperti integral, turunan fungsi dan limit. Kalkulus dasar ini di beberapa kampus dijadikan matakuliah, yaitu Kalkulus I. Dan untuk menjawab persoalan kalkulus dasar disini saya menggunakan Maxima. Untuk yang belum tahu apa itu Maxima bisa membaca tulisan saya tentang 5 Aplikasi yang Wajib Dimiliki Mahasiswa Statistika dan Matematika. Dalam tulisan ini sayan menggunakan Wxmaxima sebagai GUI dari Maxima untuk mempermudah dalam belajar Maxima.
Integral
Dalam kalkulus kita mengenal yang namanya integral, yang mana integral tersebut ada 2 jenis yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
Integral Tak Tentu
Integral tak tentu adalah invers/kebalikan dari turunan. Sebagai contoh, hitung integral tak tentu berikut: \(\int x^4+3x-9 dx\)
Dengan menggunakan rumus \(\int ax^n dx = \frac{a}{(n+a)}x^{n+1} +C\), maka jawabannya adalah \(\frac{1}{5}x^5+\frac{3}{2}x^2-9x+c\). Bagaimana jika dihadapi soal seperti ini:
\[\int (\frac{1}{x} + e^{7x} + x^{\pi} + 7 ) dx\]
\[\int \frac{tan x}{ cos x} - x cosec^2 dx\]
\[\int \frac {4t^4 - t^3 + 2t^2 - t + 4}{t} dt \]
\[\int \frac{(\sqrt{t}-2)^2}{t^2} dt\]
Yang baru belajar matematika pasti ini sedikit sulit dan ragu akan jawabannya, tapi tenang saja. Maxima ini akan membantu kita dalam mengerjakan intergal tak tentu ini, Maxima ini hanya akan menampilkan hasil akhir saja jadi sangat cocok buat kita yang ingin belajar matematika terutama integral tak tentu. Apakah yang kita hitung dan pahami rumusnya apakah sesuai apa belum. Mari kita coba, buka Maxima dan masukkan seperti berikut sesuai nomor soal.
1.
integrate(((1/x)+%e^(7*x)+x^(%pi)+7), x);2.
integrate(((tan(x)/cos(x)) - csc^2*x), x);3.
integrate((4*t^4-t^3+2*t^2-t+4)/t, t);4.
integrate((t-4*sqrt(t)+4)/(t^2), t);Integral Tentu
Jika integral tak tentu tak memiliki batasan, maka integral yang memiliki batasan disebut dengan integral tentu. Untuk rumus integral tentu adalah:
\[\int_{a}^{b} f(x) dx = f(b) - f(a)\]
Misal, cari hasil dari fungsi integral: \(\int_{2}^{3} 6x+2 dx\), dengan menggunakan rumus kita peroleh:
\[\int_{2}^{3} 6x+2 dx = 6x+2 \rbrack_{2}^{3} = 6(3)+2 - 6(2)+2 = 20 - 14 = 6\]
Bagaimana jika menghadapi soal berikut:
1. \(\int_{4}^{3} (x^3 + \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) dx\)
2. \(\int_{-2}^{6} 1 + cos t dt\)
3. \(\int_{0}^{2} (\frac {2}{\sqrt{5}} - \sqrt{x}) dx \)
Untuk menjawab ketiga soal diatas, di Maxima cukup menjalankan kode berikut:
1.
integrate((x^3+sqrt(x)+1/x^2), x, 4, 3);2.
integrate(1+cos(t), t, -2, 6);3.
integrate((2/sqrt(5) - sqrt(x)), x, 0, 2);Turunan Diferensial
Jika sebelumnya kita bahas tentang integral yang merupakan kebalikan dari turunan, sedangkan turunan adalah sebuah fungsi yang berubah menurut perubahan nilai inputnya. Rumus untuk turunan diferensial adalah:
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
atau
\[\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]
Contoh, hitunglah turunan dari fungsi: \(f(x)= 20x^{50} - 15x^{25} + 5x - 1 \).
Mari coba hitung dengan rumus diatas seperti berikut:
\[f'(x) = 20(50) x^{49} - 15(25) x^{24} + 5(1)x^0 - 0 = 1000x^{49} - 375x^{24} + 5\]
Nah, kita coba mencari hasil turunan fungsi berikut dengan Maxima:
\[f(y) = y^{-4} -9y^{-3} +8y^{-2} +12\]
\[f(x) = \frac{x^5 -5x^3+2x}{x^3}\]
\[g(z) = \frac{6}{\sqrt{z^3}} + \frac{1}{8z^4} - \frac{1}{3z^{10}}\]
Dapat ditulis di Maxima sebagai berikut:
diff(y^(-4) + 9*y^(-3)+8*y^(-2)+12, y,1);2.
diff((x^5-5*x^3+2*x)/x^3,x,1);ratsimp(%);3.
diff(6/(sqrt(z^3)) + 1/(8*z^4) - 1/(3*z^(10)), z, 1);ratsimp(%);Jika ingin menurunkan sampai keturunan kedua dan seterusnya cukup mudah, tinggal ganti angka 1 setelah variabel ke angka turunan yang diinginkan.
Limit Fungsi
Di Maxima kita juga bisa mencari limit sebuah fungsi, dengan menggunakan limit kita jadi tahu sifat dari sebuah fungsi saat mendekati ke suatu titik, atau tak hingga. Untuk mencari nilai suatu limit sebenarnya cukup mudah sekali, kita hanya perlu mensubtitusikannya. Contoh:
\[\lim_{x \to 1} \frac{2-2x^2}{x-1}\]
Dengan subtitusi, maka hasilnya:
\[\lim_{x \to 1} \frac{2-2x^2}{x-1} = \lim_{x \to 1} -(2(x+1)) = -2(1+1)=-4 \]
Contoh soal:
\[\lim_{t \to 4} \frac{t-\sqrt{3t+4}}{4-t}\]
2.
\[\lim_{x \to 2} x^2 cos(\frac{1}{x})\]
3.
\[\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{3x^2+6}}{5-2x}\]
Yang dapat kita tulis di Maxima untuk menjawab contoh soal:
1.
limit((t-sqrt(3*t+4))/(4-t), t, 4);2.
limit(x^2*cos(1/x), x, 2);3.
limit(sqrt(3*x^2+6)/(5-2*x), x, inf);Nah, begitulah Kalkulus Dasar Menggunakan Maxima yang membahas, integral, turunan dan limit suatu fungsi. Ini adalah tutorial yang cukup memberikan pelajaran yang banyak buat saya, selain mengulas materi yang pernah saya pelajari tentang kalkulus, tentang menulis \(\LaTeX\) dan Maxima. Terima kasih sudah membaca sampai bertemu di tulisan selanjutnya.
Referensi: